A kutatás célja
Határeloszlás-tételek hosszú memóriájú kölcsönható folyamatokra:
A kutatás célja az ön-kölcsönható rendszerek minél szélesebb családjában a skálázási és aszimptotikus tulajdonságok leírása. Az ún. „rövidlátó” öntaszító bolyongásra („myopic” or ‘true’ self-avoiding walk) és az öntaszító Brown-polimerre vonatkozó korábbi eredményeink jelentik a kiindulópontot. Tervezzük az eddigi kutatás folytatását elsősorban a magas dimenziós modellekben várt centrális határeloszlás-tétel (CHT) irányában. Az alkalmazott funkcionálanalitikus eszközök várhatóan túlmutatnak az eddig leírt modelleken. A Kipnis-Varadhan módszerek egy új eleme a gyengített szektorfeltétel, amely általánosabb érvényű a CHT eddigi elégséges feltételeinél. A kutatás egyik iránya a fenti feltétel érvényességi körének vizsgálata. Erre a fentieken kívül véletlen közegű bolyongás modellekre is várhatunk új eredményeket. A statisztikus fizikából származó ún. six vertex modellt illetve ezek változatait is vizsgáljuk; itt a várt CHT más elégséges feltételének bizonyításához szükséges ún. grading nem teljesül. A gyengített szektorfeltétel azonban a fellépő operátorok természetes módon felmerülő funkcionálanalitikus tulajdonságain múlik. Tervezzük más magas dimenziós bolyongásmodellekre is a CHT érvényét kiterjeszteni. A kutatás további célja egydimenziós ön-kölcsönható folyamatok minél szélesebb osztályaiban a skálázási és aszimptotikus tulajdonságok vizsgálata a lokális idő elemzésén alapuló Ray-Knight-elmélet segítségével. E modellekben az önkölcsönhatás a bolyongás saját lokális idejének függvénye. Célunk újabb típusú, mindeddig részletesen nem vizsgált függések esetén aszimptotika és határeloszlás-tétel vizsgálata. Az eredmények várhatóan eltérnek mind a kölcsönhatás nélküli, mind a magas dimenziós esettől.
Nem attraktív modellek csatolása:
A másodosztályú részecskék attraktív modellek vizsgálati módszereiben tettek nagy szolgálatot, mivel számuk megmarad a rendszer időfejlődése során. Nem attraktív esetben viszont a módszerek nem alkalmazhatóak, hiszen itt másodosztályú részecskék keletkezhetnek és eltűnhetnek. Szimulációk azt mutatják, hogy bár a másodosztályú részecskék száma nem konstans, mégis sztochasztikus korlátok között marad. Tervezzük ennek a viselkedésnek a precíz vizsgálatát. Ennek során szükségünk lesz a másodosztályú részecskék között fellépő effektív kölcsönhatás megértésére, ami egy nehéz témakör, és részben kapcsolódik a következő problémához is.
Kölcsönható rendszerek stacionárius eloszlásai:
Az ismert eredmények nagy része olyan modellekre vonatkozik, melyek extremális eltolás-invariáns stacionárius eloszlásai szorzat alakúak. Kevesebbet tudunk olyan modellekről, melyeknek nincs szorzat alakú ilyen eloszlásuk. Szintén keveset tudunk a stacionárius eloszlásról akkor, ha a modellt egy dinamikusan mozgó pontból (pl. egy másodosztályú részecske pozíciójából) figyeljük. Végül nem eltolás-invariáns stacionárius eloszlásokról (pl. ún. blokkoló mértékekről) is kevés ismert, ezek nagy része az aszimmetrikus kizárásos folyamatra vonatkozik. A közelmúltban új technikák születtek mátrixszorzatok, sorban állási rendszerek segítségével. Tervezzük nem szorzat alakú stacionárius és/vagy blokkoló mértékek vizsgálatát kölcsönható rendszerekben.
Technikai leírás
Valamennyi kutatási feladathoz szükséges mind az analitikus módszerek (matematikai bizonyítások), mind a számítógépes eszközök (szimulációk, konkrét feladatokhoz kapcsolódó számítások) alkalmazása. A technikai megközelítés konkrét részletei, az analitikus és számítógépes eszközök aránya függ az adott kutatási feladattól. Mindegyik témára vonatkozik, hogy a matematikai modellek kipróbálásához és értékeléséhez szükséges a numerikus eljárásokat számítógéppel tesztelni. Ehhez mindenképpen szükséges egy gyors és megbízható számítógép, ideális esetben a klaszter alapú szuperszámítógép.
A bemutatott kutatási irányok kidolgozásához a matematikában szokásos kutatási módszertan alkalmazása látszik megfelelőnek. Az egyes kérdéskörök már létező irodalmának áttekintése után matematikai fogalomalkotásokra, sejtések kialakítására, majd ezek vizsgálatára, tétel-bizonyításokra van szükség. E munka elvégzésére kiváló kereteket biztosít, és inspiráló légkört teremt az egyes kisebb szellemi műhelyek által rendszeresen megrendezett szemináriumi munka, ahol az elért részeredményeket és felmerülő ötleteket a résztvevők együtt beszélik meg, illetve együtt gondolkodhatnak a fellépő nehézségek kezelésének módján.
Egyes vizsgálati irányokban a sejtések kialakítása számítógépes kísérletekre, „szimulációkra” is alapozható. Ezek a példák szolgáltathatják azt a tapasztalatot, melyből – szerencsés esetben – lehetőség van az általános, absztrakt törvényszerűségeket felismerni.
A várt eredmények összefoglalása
Határeloszlás-tételek hosszú memóriájú kölcsönható folyamatokra:
Kipnis-Varadhan tételkör kiterjesztése az alkalmazhatóság feltételeinek gyengítésével. Szuper-diffúzív viselkedés és nem-konvencionális határeloszlás-tételek bizonyítása alacsony dimenziós (d = 1,2) modellek esetében. Diffúzív viselkedés és centrális határeloszlás-tétel (CHT) bizonyítása három és magasabb dimenziós modellek esetében.
Nem attraktív modellek csatolása:
Azt várjuk, hogy a nem attraktív esetben egy mennyiségben korlátozott másodosztályú részecske-felhő létezését tudjuk bizonyítani, mely az attraktív modellek csatolási technikáiban használt másodosztályú részecske szerepét vehetné át a nem attraktív esetben.
Kölcsönható rendszerek stacionárius eloszlásai:
Eddig nem ismert stacionárius eloszlások felfedezését várjuk kölcsönható részecskerendszerekben kívülről, illetve esetleg a másodosztályú részecske szemszögéből nézve, eltolás-invariáns, illetve blokkolt esetekben. Egy lehetséges következmény, hogy olyan modellekben tudunk érdemi információt adni a hidrodinamikában legfontosabb fluxus mennyiségről, melyekben ez eddig nem volt ismert.
Tehetséggondozás formája a kutatás során
A fentebb vázolt kutatások jelentősége kettős. Egyrészt, a matematikai alapkutatások szempontjából, az említett vizsgálatok az adott terület nemzetközi élvonalát leginkább foglalkoztató kérdésekre irányulnak. A vázolt eredmények kellően jelentősek ahhoz, hogy azokkal fel lehet kelteni a nemzetközi közösség figyelmét, be lehet kapcsolódni annak vérkeringésébe, további jelentős kutatói projektekbe. Ehhez a BME Matematika Intézete által biztosított kiterjedt kutatói kapcsolatrendszer is kiváló hátteret teremt. Másrészt feltétlen érdemes kiemelni az alkalmazási lehetőségek széles körét, többek között a fizika, a kémia, az informatika és a mechanika különféle területein. Itt fontos megemlítenünk a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem különböző szervezeteivel, a támogatásban részesülő további doktori iskolákkal való jó kapcsolatainkat.
A vázolt kutatásokat – senior oktatói-kutatói témavezetés mellett – a doktori iskola hallgatói végzik. Célunk, hogy ezek a hallgatók a kutatás során elért eredményeik alapján hatékonyan élhessenek a fent említett lehetőségek széles körével. A kutatás technikájának megismerése mellett hallgatóink segítséget kapnak az eredmények dolgozatokban és előadásokon való bemutatásánál, kutatói kapcsolatok megteremtésében és ápolásában, az alkalmazási lehetőségek feltérképezésében is.
A doktori iskola számos korábbi hallgatója ma kiválóan megállja a helyét, mint világszerte elismert alapkutató, vagy az innováció szempontjából jelentős fejlesztéseken dogozó alkalmazott kutató. Bízunk benne, hogy a támogatással tovább bővül azon hallgatóink száma, akik később a kutatói élet különböző területein sikeresen képesek elhelyezkedni.
A bemutatott vizsgálati irányok mindegyike korszerű, jelenleg – nemzetközi vonatkozásban is – igen aktív kutatásokhoz kapcsolódik. A felvetett problémák megoldásit – tapasztalt témavezetők irányításával – a BME Matematika Doktori Iskola doktorandusz hallgatói dolgozzák ki. E munka során átélhetik a szellemi alkotás örömét, megismerhetik a matematikai kutatás módszertanát, a tudományos közlemények és konferencia-előadások összeállításának technikáját, sőt, egyes esetekben arra is remény van, hogy a hallgatók részt vehessenek eredményeik versenyszférában történő hasznosításának kidolgozásában is.
A BME Matematika Doktori Iskola keretei között létrejött tudományos műhelyek rendkívül inspiráló közeget biztosítanak hallgatóinknak. A Doktori Iskola hallgatói képzésük teljes ideje alatt kapcsolatban vannak témavezetőikkel, sőt e kapcsolat gyakran évekkel korábban, az alapképzés, vagy mesterképzés végén elkészített szakdolgozattal, TDK dolgozattal kezdődik. Intézményesült, hogy a tehetséges MSC hallgatók tanulmányait folyamatosan nyomon követi, segíti egy vezető oktató (tipikusan a volt szakdolgozati témavezető). Hallgatóink fejlődését folyamatosan figyelve mód van rá, hogy (doktori képzésük teljes ideje alatt) tehetségük kibontakoztatásához személyre szabott segítséget kapjanak.
A BME Matematika Doktori Iskola hallgatói részt vesznek a BME alapképzésében a mérnökhallgatók oktatásában. Tanulmányaik befejezésekor tehát több éves oktatói gyakorlatuk van, mely kiválóan hasznosítható felsőoktatási intézmények matematika jellegű kurzusainak szervezésében, illetve megvalósításában.
A BME Matematika Doktori Iskolán fokozatot szerzett kutatók eddigi eredményei alapján várható, hogy doktoranduszhallgatóink képességeikben megerősödve olyan versenyképes tudásra tesznek szert, melynek segítségével sikeresen helyt tudnak majd állni akár alapkutatóként, akár alkalmazott kutatóként. Bízunk benne, hogy a támogatás tovább növeli munkánk eredményességét.
PROJEKT ELŐREHALADÁSI JELENTÉSEK
Időtartam: 2011. december 31- 2012. június 30
A kutatásban részt vesznek:
Oktatók: Dr. Balázs Márton, Dr. Tóth Bálint
Doktorjelöltek: Horváth Illés
Doktoranduszok: Nagy Attila László
Nem attraktív modellek csatolása: A feladat vizsgálata során először egyszerűsített modelleket kerestünk. Az irodalomban a branching-annihilating random walks témakörben találtunk az egyszerűsített problémánkhoz kissé hasonló rendszerekről eredményeket, ezeket megértettük, és ezek alapján egy olyan általánosított branching-annihilating modellt írtunk fel, melyet a meglevő irodalomban nem találtunk, vizsgálata elérhetőnek tűnik és általánosítaná a témakör eredményeit, valamint hasznos lenne az eredeti feladatunk megértésének szempontjából is.
Kölcsönható rendszerek stacionárius eloszlásai: A vizsgált 2-exclusion modell stacionárius eloszlásait két esetben vizsgáltuk: nyílt határokkal, és tóruszon. Az előbbi esetben egy általános eredmény alapján megkonstruáltuk az eloszlás mátrixszorzat alakjában megjelenő mátrixokat. Mindkét esetben megértettük hogyan működnek e mátrixok közti relációk, és beláttuk, hogy sok, egyéb modellben fellépő egyszerűsítés a mi esetünkben nem működik. Rájöttünk, hogyan lehet szisztematikusan információt kinyerni a relációkból, és ennek segítségével kis tóruszokra ábrázoltuk a rendszer ún. hidrodinamikai fluxusfüggvényét.
Hosszú memóriájú bolyongások és folyamatok határeloszlásai: A korábbiaknál általánosabb elégséges feltételeket adtunk, melyek centrális határeloszlás-tétel teljesülését garantálják Markov-folyamatok lineáris funkcionáljaira. Ezek az ún. szektor-feltételek tipikusan jól alkalmazhatóak hosszú memóriájú bolyongásokra. Az egyik ilyen szektor-feltétel egy korábbi feltétel (a graded sector condition) új, erősebb változata, míg a relaxed sector-condition egy teljesen új eredmény. Az eredmények előnye az is, hogy a bizonyítások kevésbé technikaiak a korábbiaknál. Az eredményekből készült cikk is, amely már el van fogadva.
Időtartam: 2012. július 1- 2013. január 15.
A kutatásban részt vesznek:
Oktatók: Dr. Balázs Márton, Dr. Tóth Bálint, Dr. Bolla Marianna
Doktorjelöltek: Horváth Illés
Doktoranduszok: Nagy Attila László, Ahmed Abo Zaid El Banna
Nem attraktív modellek csatolása: A vizsgált -- eredeti -- folyamatunkhoz először egyszerűsített modelleket szerettünk volna megérteni. Ehhez az irodalomban legközelebb álló folyamatok a branching-annihilating random walks témakörben voltak fellelhetőek. Ezeket feldolgoztuk, és ennek kapcsán több olyan branching-annihilating modellt írtunk fel, ami hasonlóságot mutat az eredeti feladatunkhoz, önmagukban érdekesek és melyeket a meglevő irodalomban nem találtunk. Ezekre szimulációkat írtunk, vizsgálatuk folyamatban van. Vizsgáljuk továbbá azt is, hogy ezek az egyszerűsített modellek milyen információt szolgáltatnak az eredeti problémánkról.
Hosszú memóriájú bolyongások és folyamatok határeloszlásai: A Relaxed sector condition című, 2012 első félévében elfogadott cikkünk eredményei alapján vizsgáljuk a centrális határeloszlás-tétel teljesülését az ún. Manhattan-modellben, amely a bolyongás véletlen közegben egy konkrét modellje.
Interakciós stratégiák hálózatokban, spektrális klaszterezés: Olyan (gazdasági vagy szociális hálózatokban működő) játékokkal foglalkozunk, ahol az optimális stratégia kialakítása a játékosok páronkénti kapcsolataitól függ. Utóbbi egy egyszerű vagy élsúlyozott gráffal írható le. Különböző, a szakirodalomban található modelleket vizsgálunk, melyekben elméletileg garantált a Nash egyensúly létezése. Az egyensúlyi állapot stabilitását azonban a modell paramétereinek és az alapgráf sajátértékeinek a függvényében vizsgáljuk, amelyre nézve viszonylag kevés eredmény található a szakirodalomban. Használni szeretnénk a gráf ún. strukturális sajátértékeit és a hozzájuk tartozó sajátvektorokat is a stabilitás leírásán túl a játékosok tipikus (hasonló stratégiát követő) csoportjainak megkeresésére, vagyis a spektrálklasztrerezés elméletét. Egyben algoritmusokat is adunk a klaszterek megkeresésére jó közelítéssel.
Publikációs adatok megadása
A projektre deklarált publikációk
Megjelent publikációk: -
Beküldött és elfogadott publikációk:
Balázs M., Rácz M. Z., Tóth B.: Modeling Flocks and Prices: Jumping Particles with an Attractive Interaction, elfogadva az Annales de l’Institut Henri Poincaré-nál
Beküldött publikációk: -
Konferenciaelőadások:
- Conference on Applications of Graph Spectra in Computer Science (Bolla Marianna) Centre de Recerca Matemàtica (CRM), Bellaterra, Barcelona (Catalonia) 2012. július 16 – 20
- Random Networks & Environments (Tóth Bálint) Isztanbul, Törökország, 2012. július 16 - 20
- Interacting Particle Systems and Related Topics (Balázs Márton) Villa Finaly, Firenze, Olaszország, 2012. augusztus 27 – 31
- Interacting Particle Systems and Related Topics (Tóth Bálint) Villa Finaly, Firenze, Olaszország, 2012. augusztus 27 – 31
- Applied Probability in Statistical Physics Meeting at the Royal Statistical Society (Tóth Bálint) London, Nagy-Britannia, 2012. Október 24
- Particle systems and PDE's (Balázs Márton), Universidade do Minho, Campus de Gualtar, Braga, Portugália, 2012. december 5-7
Időtartam: 2013. január 15- 2013. június 15.
A kutatásban részt vesznek:
Oktatók: Dr. Balázs Márton, Dr. Tóth Bálint, Dr. Bolla Marianna
Doktorjelöltek: Horváth Illés
Doktoranduszok: Nagy Attila László, Ahmed Abo Zaid El Banna
Nem attraktív kölcsönható részecske modellek evolúciója:
Kölcsönható részecskerendszerek standard csatolásával bevezethető az ún. másodosztályú részecske fogalma. Ezen részecskék viselkedéséről attraktív rendszerekben már több – önmagában is elég érdekes tényt – igazoltak, mindamellett, hogy szoros közük van hiperbolikus parciális differenciálegyenletekhez, melyeket a mikroszkopikus folyamatok hidrodinamikai határátmeneteként kaphatunk meg. Másodosztályú részecskék viselkedése nem-attraktív rendszerekben feltérképezetlen, ilyen modellekben ezek a részecskék ún. ’’branching-annihilating’’ véletlen bolyongást végeznek egy véletlen háttéren. Ennek megértése, már egyszerűbbnek mondható modellekben is igen nehézkes feladatnak bizonyul. Ezért ún. ’’mean-field’’ modelleket definiáltunk és vizsgáltunk, melyek dinamikája hasonlít a másodosztályú részecskéjére, de itt a részecskék Markov-bolyongást végeznek (véletlen háttér nélkül). Ilyen modellekre bizonyítunk részecskeszám feszességet, és azt várjuk illetve sejtjük, hogy mindezen feszesség a másodosztályú részecskékre is kiterjed.
Hosszú memóriájú bolyongások és folyamatok határeloszlásai:
A Tóth és Werner által bevezetett ún. true self-repelling motion marginális sűrűségeire explicit formulákat adtunk. Ezáltal régebbi nagy eltérés becslések precíz változatát kaptuk. A cikk a Stochastic Processes and their Applications folyóiratban jelent meg. A Bulletin of the Institute of Mathematics Academia Sinica (New Series) folyóiratban publikált cikkben pedig egy új elégséges feltételt adtunk, amely centrális határeloszlás tételt garantál Markov-folyamatok additív funkcionáljaira.
Interakciós stratégiákat leíró modellek hálózatokban:
Olyan (gazdasági vagy szociális hálózatokban működő) játékokkal foglalkoztunk, ahol az optimális stratégia kialakítása a játékosok páronkénti kapcsolataitól függ és egy egyszerű vagy élsúlyozott gráffal írható le. Tanulmányoztuk a szakirodalomban található modelleketet, és ezekben az egyensúly létezésének feltételeit. Míg a 'strategic complement' modellben létezik explicit módon meghatározható belső egyensúly, addig a 'strategic substitute' modellekben a paraméterektől függ az egyensúlyi állapot létezése és egyértelműsége. Néhány tipikus gráfra, különböző paraméterekkel, az egyensúlyi megoldásokat egy optimumkereső algoritmussal határoztuk meg. Ez az algoritmus nagy méretű gráfokra nem elég hatékony, így a spektrális klaszterezés eszközeit tervezzük bevezetni.
Megjelent publikációk:
Horváth I., Tóth B., Vető B.: Relaxed sector conditions, Bulletin of the Institute of Mathematics Academia Sinica (New Series) 7 (2012), 463-476.
Balázs M., Rácz M. Z., Tóth B.: Modeling Flocks and Prices: Jumping Particles with an Attractive Interaction, Annales de l’Institut Henri Poincaré – Probabilités et Statistiques 49 (2013).
Dumaz L., Tóth B.: Marginal densities of the 'true' self-repelling motion, Stochastic Processes and their Applications 123 (2013), 1454-1471.
Beküldött publikációk:
Horváth I., Telek M.: A constructive proof of phase type characterization theorem. A Stochastic Models folyóirathoz beküldve.
Konferenciaelőadások:
Summer School on KPZ Equation and Rough Paths (Balázs Márton) Rennes, Franciaország, 2013. június 3-7. Az előadás címe: t^{1/3} scaling of fluctuations in asymmetric interactiong systems. http://www.lebesgue.fr/content/sem2013-Ecole-en
3rd International Scientific Workshop of Egyptian PhD-students and their Academic Supervisors (Ahmed Elbanna) Bécs, Ausztria, 2013. május 2. Az előadás címe: Strategic interaction games in networks, Abstract kötet, 6. oldal.
Proceedings of the PhD Conference organized by the Doctoral School of Mathematics and Computer Science, Budapest University of Technology and Economics (Ahmed Elbanna), Budapest, 2013. május 8-10. Az előadás címe: Strategic interaction games with linear-quadratic payoff, pp. 18-23.
Proceedings of the PhD Conference organized by the Doctoral School of Mathematics and Computer Science, Budapest University of Technology and Economics (Nagy Attila László), Budapest, 2013. május 8-10. Az előadás címe: Tightness results for general double branching annihilating random walkers, pp. 31-35.
