A kutatás célja

 Laplace és Schrödinger operátorok sajétértékei, Inverz szórási feladatok:

Az egy- és többváltozós Laplace és Schrödinger operátorok sajátértékeinek vizsgálata egy fizikailag motivált klasszikus témakör, számos ma is nyitott kérdéssel. A sajátértékek eloszlásával kapcsolatos extremális feladatokat egy és több változóban is intenzíven vizsgálják. A Dirichlet peremfeltétellel definiált Laplace operátor sajátértékeiből a tartomány alakjára, topológiai tulajdonságaira lehet következtetni. A megfelelő diszkrét feladat, a gráfok Laplace spektrumának vizsgálata is intenzíven fejlődik az utóbbi években; alkalmazásai között szerepelnek például a folytonos változatban klasszikusnak számító izoperimetrikus problémák, a klaszterezés, a véletlen bolyongás gráfokon és számos egyéb kérdés.

Inverz szórási feladat alatt azt értjük, hogy a vizsgálandó objektumot hullámokkal vagy részecskenyalábbal célozzuk meg, és a visszaverődött (szórt) hullámok, illetve részecskék mérési adataiból következtetünk az objektum tulajdonságaira. Mivel sok ilyen kérdést elsősorban felhasználók vizsgálnak, a matematikai megalapozás többször hiányos. Például a fix energiás szórás fáziseltolásainak eloszlása vizsgálatra érdemes terület. A fizikai tér rekonstrukciójára a szórási adatokból az unicitás és stabilitás csak kompakt tartójú vagy gyorsan lecsengő potenciál mellett van kielégítően tisztázva. A backscattering feladatnál csak a beesési irány ellentett irányába visszavert hullámokat, illetve részecskéket vizsgáljuk; ilyenkor a Born-approximációnál a szórási amplitúdót a potenciál Fourier-transzformáltja közelíti. Vizsgálható ennek a közelítésnek a hibája és ezen keresztül a potenciálra közvetlenül nyerhető információk. Végül rendkívül érdekes a megfelelő diszkrét feladatok megfogalmazása és az analóg tételek bizonyítása a gráfokon az utóbbi évtizedekben kidolgozott analízis használatával.

 A kőkopás matematikai modelljei:

A kutatás gyakorlati célja kvalitatívan helyes kőkopási modellek konstrukciója. A matematikai cél a fizikai jelenség matematikai modelljét megadó parciális differenciálegyenlet numerikus megoldásainak kidolgozása, az eddigi módszerek esetleges javítása, az eredmények kísérletekkel való összevetése és a leíró matematikai modell szükséges korrekciója.

A kőkopás első modelljét Firey adta meg az 1970-es években. Ez a modell a más kövekkel való ütközések hatásának figyelembevételén alapul. Bizonyos esetekben helyes leírást ad, de vannak hiányosságai. A Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetemen Domokos Gábor és csapata egy olyan modellt dolgozott ki, melyben a kopás sebességét két összetevőre bontották. Az első konstans kopási sebességet feltételez, a második azt teszi fel, hogy a kopási sebesség a görbülettel arányos. Ezen sebességek lineáris kombinációjával a jelenség egy megfelelő leírását lehet adni, de minden részfeladat egy nemlineáris parciális differenciálegyenlet numerikus megoldását igényli. Ezek az egyenletek az ún. Hamilton-Jacobi egyenletek közé tartoznak. Feladat tehát az adott egyenlettípusra hatékony numerikus módszerek kidolgozása, a módszerek eredményeinek a mérési eredményekkel (gyűjtött vagy mesterségesen koptatott kövek alakvizsgálata) való összevetése, és ezek tükrében a matematikai modell esetleges változtatása.

 Parciális differenciálegyenletek numerikus megoldásainak kvalitatív vizsgálata:

Ismert, hogy a parabolikus parciális differenciálegyenletek numerikus megoldása (pl. véges differencia vagy véges elem megoldás) során a legfontosabb kérdés a konvergencia biztosítása. Azaz a rácsparamétereket úgy kell megválasztanunk, hogy azok finomításával a numerikus megoldás a pontos megoldáshoz tartson. A gyakorlatban azonban nem elegendő ask a konvergencia biztosítása, hanem a numerikus megoldásnak tükröznie kell az eredeti (fizikai vagy kémiai) folyamat alapvető kvalitatív tulajdonságait is. Ennek hiányában a numerikus megoldás a valósággal összeegyeztethetetlen eredményt fog adni. Az egydimenziós esetben az előjel stabilitási tulajdonság adja a legszigorúbb feltételt a gyakorlatban vizsgált kvalitatív tulajdonságok közül. Ez a tulajdonság azt mutatja meg, hogy a megoldásfüggvény adott időréteghez tartozó szelete hányszor vált előjelet. Ez a tulajdonság nehezen általánosítható magasabb dimenzióra. Így a célunk az, hogy a parabolikus egyenletekre olyan kvalitatív tulajdonságot fogalmazzunk meg, amely a legszigorúbb feltételt adja, de ugyanakkor általánosítható is magasabb dimenziós, sőt nemlineáris feladatokra.

 Hiszterézises dinamikai rendszerek:

A kutatás célja hiszterézises dinamikai rendszerek kvalitatív vizsgálata, többek között bifurkáció analízis, invariáns halmazok keresése, ezek egybevetése számítógépes szimulációkkal. Vizsgáljuk a folytonos, illetve szakaszonként folytonos rendszerekkel való kapcsolatot, így a klasszikus eredmények és módszerek kiterjeszthetőségét a hiszterézises családra. További célunk még a hiszeterézises dinamikában speciálisan előforduló jelenségek feltárása, megértése, érdemes megemlíteni a különleges bifurkációkat vagy a többértékű dinamikát. A számos alkalmazásból kiemelhető a nemrég felfedezett negyedik alap áramköri elem; a memrisztor, melynek lényege a hiszterézis. A jelenlegi kutatások alátámasztják, hogy a memrisztor várhatóan a jövő információs rendszereinek szerves alkotóeleme lesz.

 Fölrobbanás feltételeinek vizsgálata kémiai reakciók modelljeiben:

Reakciók modelljeinek szerkezete és a fölrobbanás ténye között keresünk kapcsolatokat. A kutatás célja modellcsaládok esetén a fölrobbanás időpontjának megállapítása, továbbá a megelőzésére vonatkozó lehetőségek felderítése.

 Kémiai reakciók sztochasztikus modelljének szimulálása:

Reális méretű, tehát legalább többtucatnyi reakciólépést és anyagfajtát tartalmazó reakciók szimulálását szeretnénk értelmes időn belül elvégezni. Ehhez igen nagy teljesítményű számítógépre van szükség.

Technikai leírás

Valamennyi kutatási feladathoz szükséges mind az analitikus módszerek (matematikai bizonyítások), mind a számítógépes eszközök (szimulációk, konkrét feladatokhoz kapcsolódó számítások) alkalmazása. A technikai megközelítés konkrét részletei, az analitikus és számítógépes eszközök aránya függ az adott kutatási feladattól. Érdemes kiemelni, hogy a kőkopás matematikai modelljei, parciális differenciálegyenletek numerikus megoldásainak kvalitatív vizsgálata, hiszterézises dinamikai rendszerek, kémiai reakciók sztochasztikus modelljének szimulálása témáknak különösen nagy a számításigénye. Mindegyik említett témára vonatkozik, deezeknél a kutatási feladatoknál kivételesen fontos, hogy a matematikai modellek kipróbálásához és értékeléséhez szükséges a numerikus eljárásokat számítógéppel tesztelni. Ehhez mindenképpen szükséges egy gyors és megbízható számítógép, ideális esetben a klaszter alapú szuperszámítógép.

 A bemutatott kutatási irányok kidolgozásához a matematikában szokásos kutatási módszertan alkalmazása látszik megfelelőnek. Az egyes kérdéskörök már létező irodalmának áttekintése után matematikai fogalomalkotásokra, sejtések kialakítására, majd ezek vizsgálatára, tétel-bizonyításokra van szükség. E munka elvégzésére kiváló kereteket biztosít, és inspiráló légkört teremt az egyes kisebb szellemi műhelyek által rendszeresen megrendezett szemináriumi munka, ahol az elért részeredményeket és felmerülő ötleteket a résztvevők együtt beszélik meg, illetve együtt gondolkodhatnak a fellépő nehézségek kezelésének módján.

 Egyes vizsgálati irányokban a sejtések kialakítása számítógépes kísérletekre, „szimulációkra” alapozható. Ezek a példák szolgáltathatják azt a tapasztalatot, melyből – szerencsés esetben – lehetőség van az általános, absztrakt törvényszerűségeket felismerni. 

A várt eredmények összefoglalása

Laplace és Schrödinger operátorok sajétértékei, Inverz szórási feladatok:

Megvizsgáljuk a Laplace és Schrödinger operátorok sajátértékeinek eloszlását, jellemezve az extremális eseteket. Analizáljuk a kérdések diszkrét megfelelőit. Igazolunk a fixenergiás fázistolások közti egyenlőtlenségeket, megvizsgálva az egyenlőség feltételét. Keresünk unicitási és stabilitási tételeket inverz szórásra lassan csökkenő potenciál esetén.

Megvizsgáljuk a backscattering feladatnál a Born-approximáció hibáját és megpróbáljuk a potenciál tartóját közvetlenül rekonstruálni a szórásamplitúdóból. Felírjuk a klasszikus szórási feladatok diszkrét változatait és megvizsgáljuk az ismert tételek diszkrét megfelelőit. Azt reméljük, hogy az ilyen kutatások „visszafelé”, a diszkrétből a folytonosba is gyümölcsözőek lehetnek.

 A kőkopás matematikai modelljei:

Az eredeti feladatot az operátorszeletelés módszerével részfeladatokra lehet bontani, melyek ciklikus megoldásával közelíthetjük az eredeti feladat megoldását. A részfeladatok tulajdonságaiból lehet következtetni a teljes feladat viselkedésére. A módszer segítségével könnyebben nyerhetők és könnyebben elemezhetők az egész feladatra vonatkozó numerikus megoldások. Eredményeinknek a mérési eredményekkel való összevetésétől azt várjuk, hogy ki tudjuk választani az egyes feladatokra alkalmazható leghatékonyabb módszereket, ill. ha szükséges, finomítani tudunk a matematikai modellen is. Fontos eredmény lenne a lehetséges határgörbék leírása és a valósággal való összevetése is. Végül a kidolgozott numerikus eljárásokat szeretnénk számítógépes programok segítségével is tesztelni.

 Parciális differenciálegyenletek numerikus megoldásainak kvalitatív vizsgálata:

Az előjelstabilitási tulajdonság egy általánosítása lehet annak vizsgálata, hogy a lokális szélsőértékek száma monoton csökken. Ez a tulajdonság magasabb dimenzió esetén is érvényes. Eredményként azt várhatjuk, hogy a különböző numerikus módszerek esetén megkapjuk azokat a rácsparamétereket, melyek alkalmazásával a lokális szélsőértékek száma monoton csökkenni fog. Azt is várjuk, hogy ezekre nem csak felső, hanem alsó korlátokat is fogunk kapni. Azt is meg kell vizsgálni, hogy ebben az esetben vajon a többi, szokásos tulajdonság teljesül-e, ill. hogy ezek közül melyik tulajdonság a legerősebb. Ezt éppen az általunk vizsgált, lokális szélsőértékek számára vonatkozó tulajdonságtól várjuk. Az eredményeket kiterjesztjük szemilineáris egyenletekre is, ahol szintén hasonló eredményeket várunk.

 Hiszterézises dinamikai rendszerek:

Kutatásunkkal rá akarunk világítani a klasszikus, a hibrid és a hiszterézises rendszerek alapvető hasonlóságára, illetve különbözőségére. A számítógépes szimulációk a rendelkezésre álló numerikus módszerek kiegészítését, módosítását igénylik. Remélhetőleg az eredményeinknek az alkalmazásokban is hasznát veszik.

 Fölrobbanás feltételeinek vizsgálata kémiai reakciók modelljeiben:

Égést leíró mechanizmusokra alkalmazni fogjuk az előrejelzésre és a beavatkozásra kidolgozandó módszereket.

 Kémiai reakciók sztochasztikus modelljének szimulálása:

Bonyolult, valóságos alkalmazásoknál előforduló modellek esetén képesek leszünk tanulmányozni a már szokásos determinisztikus modell és a sztochasztikus modell közötti különbséget.

 Modell prediktív kontroll algoritmusok vizsgálata bizonytalan és nemlineáris rendszerekre:

Hatékony számítási algoritmusok kidolgozását várjuk. Erre egy lehetőség a lineáris mátrixegyenlőtlenségek (LMI) alkalmazása. Bizonyos esetekben csak bilineáris mátrixegyenlőtlenségre vezethető vissza a probléma, amelynek a megoldása lényegesen számolásigényesebb. Ez esetben jól használható egy nagyteljesítményű számítógép. A számítási algoritmusok hatékonysága mellet fontos probléma a következő. Minthogy a számolásokat a valóságos jelenség modellje alapján tudjuk elvégezni, csak úgy juthatunk megbízható eredményre, ha a számításaink során figyelemmel vagyunk a modell és a valóságos rendszer eltérésére.

A feladat többrétű, az alábbi kérdéseket kell vizsgálni.

1. Milyen nemlinearitások, illetve bizonytalanságok esetén lehet a csúszó időhorizont módszert LMI-k segítségével megvalósítani, és hogyan?

2. Milyen állapot és vezérlési korlátozások kezelhetők LMI-k segítségével és hogyan?

3. Hogyan lehet a mérések és számítások okozta késleltetést figyelembe venni?

4. Milyen feltételek mellett lehet a feladatot output visszacsatolással megoldani, ha a szeparációs elv nem érvényes?

5. Mit mondhatunk a mintavételezés és a közelítő diszkrét idejű modellek alkalmazásáról folytonos idejű folyamatok esetén?

A tehetséggondozás formája a kutatás során

 A fentebb vázolt kutatások jelentősége kettős. Egyrészt, a matematikai alapkutatások szempontjából, az említett vizsgálatok az adott terület nemzetközi élvonalát leginkább foglalkoztató kérdésekre irányulnak. A vázolt eredmények kellően jelentősek ahhoz, hogy azokkal fel lehet kelteni a nemzetközi közösség figyelmét, be lehet kapcsolódni annak vérkeringésébe, további jelentős kutatói projektekbe. Ehhez a BME Matematika Intézete által biztosított kiterjedt kutatói kapcsolatrendszer is kiváló hátteret teremt. Másrészt feltétlen érdemes kiemelni az alkalmazási lehetőségek széles körét, többek között a fizika, a kémia, az informatika és a mechanika különféle területein. Itt fontos megemlítenünk a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem különböző szervezeteivel, a támogatásban részesülő további doktori iskolákkal való jó kapcsolatainkat.

 A vázolt kutatásokat – senior oktatói-kutatói témavezetés mellett – a doktori iskola hallgatói végzik. Célunk, hogy ezek a hallgatók a kutatás során elért eredményeik alapján hatékonyan élhessenek a fent említett lehetőségek széles körével. A kutatás technikájának megismerése mellett hallgatóink segítséget kapnak az eredmények dolgozatokban és előadásokon való bemutatásánál, kutatói kapcsolatok megteremtésében és ápolásában, az alkalmazási lehetőségek feltérképezésében is. 

 A doktori iskola számos korábbi hallgatója ma kiválóan megállja a helyét, mint világszerte elismert alapkutató, vagy az innováció szempontjából jelentős fejlesztéseken dogozó alkalmazott kutató. Bízunk benne, hogy a támogatással tovább bővül azon hallgatóink száma, akik később a kutatói élet különböző területein sikeresen képesek elhelyezkedni.

 A bemutatott vizsgálati irányok mindegyike korszerű, jelenleg – nemzetközi vonatkozásban is – igen aktív kutatásokhoz kapcsolódik. A felvetett problémák megoldásit – tapasztalt témevezetők irányításával – a BME Matematika Doktori Iskola doktorandusz hallgatói dolgozzák ki. E munka során átélhetik a szellemi alkotás örömét, megismerhetik a matematikai kutatás módszertanát, a tudományos közlemények és konferencia-előadások összeállításának technikáját, sőt, egyes esetekben arra is remény van, hogy a hallgatók részt vehessenek eredményeik versenyszférában történő hasznosításának kidolgozásában is. 

 A BME Matematika Doktori Iskola keretei között létrejött tudományos műhelyek rendkívül inspiráló közeget biztosítanak hallgatóinknak. A Doktori Iskola hallgatói képzésük teljes ideje alatt kapcsolatban vannak témavezetőikkel, sőt e kapcsolat gyakran évekkel korábban, az alapképzés, vagy mesterképzés végén elkészített szakdolgozattal, TDK dolgozattal kezdődik. Intézményesült, hogy a tehetséges MSC hallgatók tanulmányait folyamatosan nyomon követi, segíti egy vezető oktató (tipikusan a volt szakdolgozati témavezető). Hallgatóink fejlődését folyamatosan figyelve mód van rá, hogy (doktori képzésük teljes ideje alatt) tehetségük kibontakoztatásához személyre szabott segítséget kapjanak.

 A BME Matematika Doktori Iskola hallgatói részt vesznek a BME alapképzésében a mérnökhallgatók oktatásában. Tanulmányaik befejezésekor tehát több éves oktatói gyakorlatuk van, mely kiválóan hasznosítható felsőoktatási intézmények matematika jellegű kurzusainak szervezésében, illetve megvalósításában. 

 A BME Matematika Doktori Iskolán fokozatot szerzett kutatók eddigi eredményei alapján várható, hogy doktoranduszhallgatóink képességeikben megerősödve olyan versenyképes tudásra tesznek szert, melynek segítségével sikeresen helyt tudnak majd állni akár alapkutatóként, akár alkalmazott kutatóként. Bízunk benne, hogy a támogatás tovább növeli munkánk eredményességét.

PROJEKT ELŐREHALADÁSI JELENTÉSEK

Időtartam: 2011. december 31 -  2012. június 30

  A kutatásban részt vesznek:

Oktatók: Dr. Horváth Miklós, Dr. Horváth Róbert, Dr. Garay Barnabás, Dr. Gyurkovics Éva, Dr. Tóth János
Doktoranduszok: Jean-Paul André, Csikja Rudolf

 Hiszterézises dinamikai rendszerek: A hiszterézises leképezések egy családjához – névlegesen a szakaszonként lineáris intervallumleképezésekhez -- invariáns sûrûségfüggvények konstruálása  explicit módon, amelyek segítségével a hiszterézises leképezések különféle statisztikai tulajdonságai bizonyíthatók.A módszer a hiszterézises leképezések más családjára is működik, bár explicit formulák hiányában, általánosabb tételek használata szükséges a leképezések statisztikai tulajdonságainak bizonyításhoz.

 Fölrobbanás feltételének vizsgálata kémiai reakciók modelljeiben: Formális sorfejtés segítségével a fölrobbanás vizsgálatát sok esetben sikeresen visszavezettük olyan nemlineáris egyenletrendszerek megoldására, melyekben az egyes változók meghatározása rekurzív módon lineáris egyenletek megoldására vezetnek. A sor együtthatóinak és a kezdeti értékkek ismeretében a felrobbanás idõpontjának meghatározása nemlineáris egyenlet megoldására vezet, amelyet numerikusan oldunk meg. A Mathematica program segítségével a (szimbolikus) számítások sok esetben akkor is végig vihetõk, ha a rendszerben paraméterek vannak, így látható azok hatása a felrobbanás létezésére és annak idõpontjára.

  Kémiai reakciók sztochasztikus modelljének szimulálása: Elkezdtük összevetni a véletlen paraméterű determinisztikus modell és  a szokásos sztochasztikus modell ingadozásainak mértéket egy konkrét  háromváltozós modell esetén.

 A kőkopás matematikai modelljei: Az operátorszeletelés módszerét használva a kőkopás parciális differenciálegyenletének megoldását több, egyszerűbb feladat megoldására vezettük vissza. A korábban használt véges differencia módszer nem bizonyult hatékonynak. Több esetben instabilitást mutatott, így az egyes részfeladatok megoldása
pontatlanná vált. Emiatt áttértünk a level set módszer alkalmazására. Ez a konstans sebességes és az átlaggörbületes feladatnál hatékonyan működött. A Gauss-görbületes részfeladatnál stabilizálást igényelt. A módszer a szekvenciális szeletelést alkalmazva a tapasztalattal megegyező határgörbéket szolgáltatja.

 Parciális differenciálegyenletek numerikus megoldásainak kvalitatív vizsgálata: Az operátorszeletelési eljárásnál az eredeti feladatot részfeladatokra bontjuk. A teljes feladat kvalitatívan helyes megoldásához elégséges, ha minden részfeladatot kvalitatívan helyesen oldunk meg. Így elegendő a részfeladatokat vizsgálni kvalitatív
szempontból. Speciálisan egy szemilineáris parabolikus feladatot  vizsgáltunk meg abból a szempontból, hogy a lokális szélsőértékek száma milyen diszkretizáció esetén fog monoton módon csökkenni. Az előjelstabilitás feltételével megegyező feltételt nyertünk. Véges elem módszer esetén alsó korlátot is kaptunk az időlépésre, ill. megállapítottuk, hogy az adott kvalitatív tulajdonság teljesülése esetén a többi szokásosan vizsgált kvalitatív tulajdonság is teljesül.

 Modell prediktív kontroll algoritmusok vizsgálata bizonytalan és nemlineáris rendszerekre: Elkészült Varga Gabriella BSc szakdolgozata „Lineáris mátrix egyenlőtlenségek alkalmazása bizonytalan rendszerek stabilizálására” címmel, védés időpontja: 2012. június 21. eredménye: jeles.

 Folyamatban van Borbély Gábor MSc diplomamunkájának írása, amelyben a kutatási terv „Milyen feltételek mellett lehet a feladatot output visszacsatolással megoldani, ha a szeparációs elv nem érvényes?” kérdésre keressük a választ.

 Időben változó ismeretlen késleltetésű bizonytalan rendszerek output-visszacsatolással történő garantált költségű stabilizálásáról elkészült a „Guaranteed Cost for Uncertain Discrete-Time Delay Systems”, amelyet a „Control Applications of Optimization 2012” című konferenciára elfogadta. (Társszerzője Takács Tibor)

Időtartam: 2012. június 30 -  2013. január 15.

 A kutatásban részt vesznek:

 Oktatók: Dr. Horváth Miklós, Dr. Horváth Róbert, Dr. Garay Barnabás, Dr. Gyurkovics Éva, Dr. Tóth János
Doktoranduszok: Jean-Paul André, Csikja Rudolf
Msc hallgató: Busai Ágota

 Hiszterézises dinamikai rendszerek:

 Az IFNA2012 konferencián tartott elõadás címe: Multivalued Poincaré-maps for systems with hysteresis.

 Klasszikus egy-dimenziós leképezések hiszterézises változatának vizsgálata, valamint ezek alkalmazása két-dimenziós kapcsolt rendszerek vizsgálatára. Saját programot fejlesztettünk (Mathematicában) a kapcsolt rendszerek megoldására és a Poincaré követőfüggvény előállítására.

 Fölrobbanás feltételének vizsgálata kémiai reakciók modelljeiben:

 A Szófiában tartott COST2012 égés konferencián kiállított poszter címe: Theoretical investigation of simple non-isothermal models.

Nem izotermikus kémiai modell kvalitatív vizsgálatát végeztük el, hangsúlyt fektetve a felrobbanás jelenségének meglétére vagy hiányára.

Parciális differenciálegyenletek numerikus megoldásainak kvalitatív vizsgálata:  Kutatásunk során azt vizsgáltuk, hogy egy adott üzemanyagcella modelljeként felírt parciális differenciálegyenlet mennyire írja le helyesen a fizikai folyamatokat. A modellben szereplő paramétereket akartuk megbecsülni úgy, hogy a modellt futtatva a matematikai eredmények a legközelebb legyenek a mérési adatokhoz. Korábban azt gondoltuk, hogy a szimulált hűtési módszer adja a legjobb becslést, de később az derült ki, hogy a Levenberg-Marquardt- módszer a legjobb (a szimulált hűtés és a trust region módszerekkel összehasonlítva). Egy másik megoldandó probléma volt, hogy a parabolikus modell nagyon lassan futott, így az illesztésekhez szükséges többszöri futtatás nagyon sokáig tartott. Mivel a mérések során a cellapotenciál mérésénél lényegében a stacionárius állapot beálltáig vártunk, emiatt megpróbáltuk a parabolikus modellt elliptikus feladatra visszavezetni. A numerikus eljárások konvergenciájának biztosítása érdekében a végleges módszerünk a parabolikus és az elliptikus feladat megoldásának egy megfelelő kombinációja lett. Azaz bizonyos áramsűrűségek esetén a parabolikus, más esetben pedig az elliptikus feladatot oldottuk meg. Ezen új, kombinált módszerrel nyert paraméterekre illesztett konfidenciaintervallumok az elvárt tartományban jósolják a paramétereket.

Emellett egy celluláris neurális kör metastabil periodikus pályáival kapcsolatban,  a  mögöttes matematikáról tettünk néhány megállapítást: lakunáris polinomok gyökeinek aszimptotikája alapján mind a domináns, mind a nem-domináns Floquet féle sajátértékekre éles becsléseket adtunk. A nemlinearitások szakaszosan simák voltak.

Konferencia előadás:
B.M.Garay, Moving average network examples for asymptotically stable periodic orbits of strongly monotone maps, 18th International Conference on Difference Equations and Applications (July 22-27, 2012, Barcelona, Spain)      

Kőkopási modellek vizsgálata: Bár a legegyszerűbb esetben jól működött a Gauss-görbületes részfeladatra konstruált numerikus megoldás, a háromdimenziós esetben a módszer nem konvergált. A konvergencia biztosítása egyelőre nem sikerült. Annak kiderítésére, hogy programozási hiba történt, vagy valami elvi hiba van a modellben, megpróbáljuk valamilyen matematikai programcsomag segítségével megoldani a feladatot. Emellett elkezdtük vizsgálni a kőkopási modellre alkalmazott operátorszeletelési eljárás konvergencia-tulajdonságait a Hamilton-Jacobi-egyenletre vonatkozó korábbi eredményekre alapozva.

Sejtbiológiai modellek kvalitatív vizsgálata és paramétereik becslése: A Ca-transzport háromrekeszes modelljének kvalitatív viselkedését vizsgáltuk. A sejtmodell egyszerűségének ellenére a paraméterek függvényében sokféle viselkedést tapasztalhatunk. Megfelelő paraméterekkel a kísérleti eredményekhez hasonló koncentrációgörbéket kapunk. Elkezdtük a determinisztikus modell kvantitatív vizsgálatát: paraméterbecslést végeztünk mérési eredmények alapján. A becsült paraméterekkel leírt modellben vizsgáltuk, hogy a sztochasztikus paraméterű determinisztikus modellből kapott fluktuációk a paraméterek mekkora relatív szórása mellett adják vissza a sztochasztikus modell ingadozásait.

Szemináriumi előadás:

Busai Ágota: Fluktuációk forrásai egy reakciókinetikai modellben, BME Reakciókinetika szeminárium, 2012. november 15.

 Megjelent publikációk: -

 Beküldött és elfogadott publikációk: -

 Beküldött publikációk: -

 Konferenciaelőadások:

 -        Multivalued Poincaré-maps for systems with hysteresis (Rudolf Csikja)   World Congress of IFNA, June 25-July 1, 2012, Athens, GREECE

 -        Moving average network examples for asymptotically stable periodic orbits of strongly monotone maps (Barnabas M. Garay) 18th International Conference on Difference Equations and Applications, July 22-27, 2012, Barcelona, SPAIN

 Konferenciaposzter:

 -        Theoretical investigation of simple non-isothermal models (Rudolf Csikja, János Tóth) COST, Detailed Chemical Models for Cleaner Combustion, 3^rd Annual Meeting, September 5-7, 2012, Sofia, BULGARIA

Időtartam: 2013. január 15 -  2012. június 15.

 A kutatásban részt vesznek:

 Oktatók: Dr. Horváth Miklós, Dr. Horváth Róbert, Dr. Garay Barnabás, Dr. Gyurkovics Éva, Dr. Tóth János
Doktoranduszok: Jean-Paul André, Csikja Rudolf
Msc hallgató: Busai Ágota

 Laplace és Schrödinger operátorok sajétértékei, inverz szórási feladatok:

 Ambarzumian tétele szerint ha egy Neumann peremfeltétellel definiált Schrödinger operátor sajátértékei megegyeznek a szabad operátor sajátértékeivel, akkor a Schrödinger operátor a szabad operátor. Ezt a korábban csak legfeljebb 3 dimenzióra igazolt tételt kiterjesztettük tetszõleges dimenzióra, a korábbiaknál egyszerûbb bizonyítással, mely a spektrálfüggvény ismert aszimptotikus tulajdonságain alapul. Végül igazoltunk egy stabilitási tételt, amely szerint ha a sajátértékek (átlagban) közel vannak a szabad operátor sajátértékeihez, akkor az operátor is (négyzetintegrálban) közel van a szabad operátorhoz.

 Parciális differenciálegyenletek numerikus megoldásainak kvalitatív vizsgálata: 

 Azzal foglalkoztunk, hogy egy egyszerû körgráfon terjedõ betegség valószínûségi modelljét megadó közönséges differenciálegyenlet-rendszer miképpen helyettesíthetõ parciális differenciálegyenlettel. Megadtunk kétféle lehetséges parciális differenciál-egyenletet is, melyekre a numerikusan számolt megoldások jó egyezést mutatnak a közönséges differenciálegyenlet-rendszer megoldásával. 

 Kőkopási modellek vizsgálata:

 Több algoritmust írtunk és futtattunk Matlabban a különbözõ szeletelési eljárások összehasonlító tesztelésére. Egyik célunk az volt, hogy megmutassuk, hogy a szeletelési módszer jól használható - egyelõre - a kétdimenziós esetben. Azért választottuk a kétdimenziós esetet, mert itt elegendõ csak két részfeladatra bontani az eredeti differenciálegyenletet. Azt láttuk, hogy valóban jól viselkedik a szeletelés, és a számítási idõ is csökkenthetõ vele.

 Kvalitatív dinamika hibrid rendszerekben:

 A dinamikai rendszerek egy fontos típusa a hibrid, hiszterézissel rendelkezõ rendszerek. Ilyen rendszerek egy családjának kvalitatív tulajdonságait vizsgáltuk. A kutatásban erõsen támaszkodtunk a Mathematica programcsomag használatára, így az elméleti eredményekkel párhuzamosan tapasztalatot szereztünk a hybrid rendszerek szimuláció-járól és számítógépes vizsgálatáról is.

 Parciális differenciálegyenletek megoldása szeleteléssel:

 Iteratív szeletelési eljárást adtunk nemlineáris egyenletek tetszõleges pontosságú megoldására.

 Kinetikai differenciálegyenletek kvalitatív vizsgálata

 Az erre a célra szolgáló programunkat továbbfejlesztettük (folyamatosan további függvényeket írunk hozzá), és alkalmaztuk 39 konkrét (nagy méretû) égési reakció strukturális elemzésére.

 Kapcsolódó publikációk:

 Ladics, T., Faragó, I.: Generalizations and error analysis of the iterative operator splitting method, Central European Journal of Mathematics 11 (8)(2013) 1416-1428

  Nagy, A. L., Papp, D., Tóth, J.: Reaction Kinetics—A Mathematica package with applications, Chem. Eng. Sci. 83 (2012), 12-23.

 A projektre deklarált publikációk

 Beküldött  publikációk:

 Tóth, J., Nagy, A. L., Zsély, I. Gy.: Structural Analysis of Combustion Models, http://arxiv.org/abs/1304.7964

 Konferencia előadások:

 Csikja Rudolf: Qualitative Dynamics in Hybrid Systems with Hysteresis, PhD Conference, Doctoral School of Mathematics and Computer Science Budapest University of Technology and Economics, May 8-10, 2013. pp. 41-44.

 Tóth, J., Nagy, A. L., Papp, D.: Formal Analysis of Combustion Models, MaCKiE, Chennai, India

 A támogatás hasznosulása

 Eljárást megindította: Ladics Tamás