A kutatás célja 

 Statisztikus viselkedés kaotikus dinamikai rendszerekben:

A kutatások célja minél pontosabban megérteni, hogy a determinisztikusan fejlődő hiperbolikus dinamikai rendszerek milyen értelemben tekinthetők véletlenszerűek. Konkrét feladat lehet ergodicitás, keverés bizonyítása, a keverési sebesség becslése, határeloszlás-tételek igazolása. Egyrészt a közelmúltban a már hagyományosnak tekinthető szimbolikus dinamikai megközelítés mellett ígéretes új módszerek jelentek meg az irodalomban (funkcionálanalitikus és csatolásos technikák); célunk ezek pontosabb megértése és továbbfejlesztése. Másrészt tervezzük a módszereket alkalmazni konkrét, a fizikai alkalmazások szempontjából jelentős modellek statisztikus tulajdonságainak megértésére.

 Determinisztikus modellek által motivált sztochasztikus rendszerek:

Térben és/vagy időben nem homogén viselkedésű sztochasztikus modelleket is vizsgálunk majd. Példa ilyen modellre a véletlen belső állapotú bolyongás, melynek motivációját a dinamikai rendszerek elméletéből ismert periodikus Lorentz folyamat adja. Ilyen és hasonló sztochasztikus folyamatokra vonatkozóan tervezzük Dvoretzky-Erdős vagy Erdős-Taylor típusú tételek adaptációját. Szintén determinisztikus, hővezetést modellező rendszerekből származtatott sztochasztikus kölcsönható modellek hidrodinamikai határeseteit is vizsgáljuk diffúzív skálázás mellett, cél a Fourier-féle hővezetési törvény bizonyítása. Nehézség, hogy a "részecskeszám" szerepét játszó energia folytonos, és hogy a rendszer nem gradiens típusú. Másfelől több esetben a folyamat formailag hasonló egy Varadhan által tárgyalt nem-gradiens rendszerhez.

 Fraktálok vetületei és metszetei:

Önhasonló fraktálok egy bizonyos családjára, az úgy nevezett Sierpinski-szőnyegekre szeretnénk kidolgozni egy elvet, amely kimondja, hogy egy tipikus egyenes fraktállal való metszetének „mérete”, plusz a Sierpinski-szőnyegnek az előbbi egyenesre merőleges irányba vett vetületének „mérete” egyenlő a Sierpinski-szőnyeg „méretével”. Ezt az elvet dimenzió megőrzési elvnek (DC megőrzési elvnek) hívjuk. Annak megfelelően, hogy pontosan mit értünk méret alatt, a fenti elvet H. Fürstenberg (Hebrew University), majd P. Shmerkin (Surrey) és M. Hochmann (Hebrew Univ.) igazolták a Sierpinski-szőnyegeknél még általánosabb halmazokra. Az övékénél erősebb DC megőrzési elvet bizonyított sokkal speciálisabb esetekben A. Manning (Warwick) és Simon Károly, Bárány Balázs (BME). Célunk a DC megőrzési elvnek ezen erősebb formáját a fraktálok tágabb osztályára (általánosabb ön-hasonló, ön-affin, véletlen önhasonló fraktálok) kiterjeszteni. Ebben együttműködünk P. Shmerkinnel és H. Hochmnann-al.

 Rejtett Markov-láncok és fraktálok:

Az informatikai alkalmazások (pl. beszédfelismerés) szempontjából különösen fontosak a Rejett Markov-Láncok (HMC), melyek Markov-láncok bizonyos függvényeinek foghatók fel. Az utóbbi években ezek kutatása új erőre kapott a matematikusok körében, köszönhetően annak, hogy egyre több, a dinamikai rendszerek elméletében kidolgozott módszert tudunk alkalmazni ezen a területen. Egy fontos cél a HMC entrópiájának megértése. Míg a Markov-láncok entrópiája könnyen leírható, addig a HMC entrópiájának megértése sokkal nehezebb feladat. Bárány Balázs, Simon Károly (BME) együttműködve M. Pollicottal (Warwick) ezt a problémát a HMC entrópiájának kifejezésére használt úgynevezett Blackwell mérték tanulmányozása segítségével közelíti meg. Vizsgáljuk e mérték abszolút folytonosságát a Lebesgue mértékre nézve. Ezen kutatásainkhoz az entrópia, illetve a Lyapunov exponens mennyiségek kiszámolásához nagyon nagy számítási teljesítmény szükséges, amire szuperszámítógépet kell majd használnunk.

 Kvantuminformáció-elmélet:

Egyfelől a nem-kommutatív valószínűségszámítás, vagy más néven kvantuminformáció-elmélet jelentősége felértékelődött a kvantumszámítógépekkel kapcsolatos kutatások hatására, másrészről e kutatások sok új kérdést vetnek fel a nem-kommutatív információelméletben. Az újonnan felmerült kérdések közül azokat vizsgáljuk részletesebben, melyek igénylik az általánosabb algebrai megközelítést, a Neumann-algebrák elméletét, illetve melyek a nem-kommutatív Fisher-információval állnak kapcsolatban. Célunk e két eszköz (Fisher-információ illetve Neumann-algebra) alkalmazása a kvantuminformáció-elméletben. Ezekkel az eszközökkel vizsgáljuk a nem-kommutatív paraméterbecslést és állapotbecslést, a kvantumcsatornák, illetve a kvantumállapotok terének geometriai tulajdonságait, a kvantumcsatornák kapacitását, valamint annak a lehetőségét, hogy a kvantuminformáció-elmélet matematikai apparatusát kiterjesszük Neumann-algebrákra a mátrixalgebrákról.

Technikai leírás 

Valamennyi kutatási feladathoz szükséges mind az analitikus módszerek (matematikai bizonyítások), mind a számítógépes eszközök (szimulációk, konkrét feladatokhoz kapcsolódó számítások) alkalmazása. A technikai megközelítés konkrét részletei, az analitikus és számítógépes eszközök aránya függ az adott kutatási feladattól. Érdemes kiemelni, hogy a rejtett Markov-láncok és fraktálok témáknak különösen nagy a számításigénye. Mindegyik említett témára vonatkozik, deezeknél a kutatási feladatoknál kivételesen fontos, hogy a matematikai modellek kipróbálásához és értékeléséhez szükséges a numerikus eljárásokat számítógéppel tesztelni. Ehhez mindenképpen szükséges egy gyors és megbízható számítógép, ideális esetben a klaszter alapú szuperszámítógép.

 A bemutatott kutatási irányok kidolgozásához a matematikában szokásos kutatási módszertan alkalmazása látszik megfelelőnek. Az egyes kérdéskörök már létező irodalmának áttekintése után matematikai fogalomalkotásokra, sejtések kialakítására, majd ezek vizsgálatára, tétel-bizonyításokra van szükség. E munka elvégzésére kiváló kereteket biztosít, és inspiráló légkört teremt az egyes kisebb szellemi műhelyek által rendszeresen megrendezett szemináriumi munka, ahol az elért részeredményeket és felmerülő ötleteket a résztvevők együtt beszélik meg, illetve együtt gondolkodhatnak a fellépő nehézségek kezelésének módján.

 Egyes vizsgálati irányokban a sejtések kialakítása számítógépes kísérletekre, „szimulációkra” alapozható. Ezek a példák szolgáltathatják azt a tapasztalatot, melyből – szerencsés esetben – lehetőség van az általános, absztrakt törvényszerűségeket felismerni. 

A várt eredmények összefoglalása: 

 Statisztikus viselkedés kaotikus dinamikai rendszerekben:

A M. Wojtkowski által bevezetett hulló golyók rendszerére diszkrét időben polinomiális, de szummábilis korreláció-lecsengés, valamint centrális határeloszlás-tétel bizonyítása. Az eredmény jelentősége kettős: egyrészt így bővítjük a matematikailag egzaktul tárgyalható, de fizikailag realisztikus modellek szűk körét, másrészt jobban megértjük az alkalmazások szempontjából jelentős, lassú korrelációlecsengéshez kapcsolódó intermittens viselkedést.

A N. Chernov és D. Dolgopyat által kifejlesztett, standard párok csatolásán alapuló technika magas dimenziós általánosítása. A csatolásos technika ereje közvetlenségében és rugalmasságában rejlik, mely alkalmazhatóvá teszi többek között annak vizsgálatára, miként függnek a vizsgált rendszer statisztikus tulajdonságai a külső paraméterektől. Ezt a technikát egyelőre csak kétdimenziós modellekre sikerült alkalmazni, így komoly előrelépést jelentené a magas dimenziós általánosítás.

 Determinisztikus modellek által motivált sztochasztikus rendszerek:

Véletlen belső állapotú bolyongásokra tervezzük egyszerű bolyongásokból ismert tételek általánosítását, pl. Dvoretzky-Erdős, vagy Erdős-Taylor. Hővezetést modellező kölcsönható rendszerekre pedig hidrodinamikai eredményeket várunk, illetve a statisztikus fizikából ismert Fourier hővezetési tételt szeretnénk bizonyítani.

 Fraktálok vetületei és metszetei:

A vetület mértékek struktúrájára vonatkozó tételek segítségével a síkbeli önhasonló fraktálok egyenesekkel vett metszeteinek multifraktál analízisét fogjuk leírni (Bárány B. Simon K (BME) és A. Furgesson (Bristol)). Kiterjesztjük a DC megőrzési elvet általánosabb fraktálokra.

 Rejtett Markov-láncok és fraktálok:

A legfontosabb speciális esetben kifejezzük a Blackwell-mértéket, mint egy megfelelő szimbolikus téren értelmezett Hölder-folytonos potenciál Gibbs-mértékét. A variációs elv használatával ebből meg fogjuk határozni a HMC entrópiáját. Ennek a talán legfontosabb speciális esetnek a tárgyalása után általánosabb esetekre terjesztjük ki az eredményünket. A HMC elméleti technikákat alkalmazhatjuk az egyenesen átfedő részekkel konstruált önhasonló mértékek Lebesgue mértékere való abszolút folytonosságának vizsgálatára.

Kvantuminformáció-elmélet:

A paraméterbecslés, illetve állapotbecslés kulcsfontosságú a kvantumszámítógépek megvalósításában, így eredményeink ezen a területen találhatnak alkalmazásra. Terveink szerint sikerül tisztázni a különböző Fisher-információk által generált Cramer-Rao típusú becslések fizikai jelentését, illetve sikerül optimális becslési módszert adni minden Fisher-információ esetére. A kvantumállapotok tere geometriai struktúrájának jobb megértése vezethet a kvantumcsatornák terének geometrizálásához. Reményeink szerint összefüggéseket sikerül bizonyítani a kvantumcsatornák terének geometriai invariánsai, illetve a kvantumcsatornák kapacitásai között. A kvantuminformáció-elmélet formalizmusának az általánosítása Neumann-algebrákra lehetőséget teremthet arra, hogy jobban lehessen optimalizálni a kvantumállapotok méréseit, így kevesebb méréssel nagyobb pontosság érhető el.

 A tehetséggondozás formája a kutatás során

A fentebb vázolt kutatások jelentősége kettős. Egyrészt, a matematikai alapkutatások szempontjából, az említett vizsgálatok az adott terület nemzetközi élvonalát leginkább foglalkoztató kérdésekre irányulnak. A vázolt eredmények kellően jelentősek ahhoz, hogy azokkal fel lehet kelteni a nemzetközi közösség figyelmét, be lehet kapcsolódni annak vérkeringésébe, további jelentős kutatói projektekbe. Ehhez a BME Matematika Intézete által biztosított kiterjedt kutatói kapcsolatrendszer is kiváló hátteret teremt. Másrészt feltétlen érdemes kiemelni az alkalmazási lehetőségek széles körét, többek között a fizika, a kémia, az informatika és a mechanika különféle területein. Itt fontos megemlítenünk a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem különböző szervezeteivel, a támogatásban részesülő további doktori iskolákkal való jó kapcsolatainkat.

 A vázolt kutatásokat – senior oktatói-kutatói témavezetés mellett – a doktori iskola hallgatói végzik. Célunk, hogy ezek a hallgatók a kutatás során elért eredményeik alapján hatékonyan élhessenek a fent említett lehetőségek széles körével. A kutatás technikájának megismerése mellett hallgatóink segítséget kapnak az eredmények dolgozatokban és előadásokon való bemutatásánál, kutatói kapcsolatok megteremtésében és ápolásában, az alkalmazási lehetőségek feltérképezésében is. 

 A doktori iskola számos korábbi hallgatója ma kiválóan megállja a helyét, mint világszerte elismert alapkutató, vagy az innováció szempontjából jelentős fejlesztéseken dogozó alkalmazott kutató. Bízunk benne, hogy a támogatással tovább bővül azon hallgatóink száma, akik később a kutatói élet különböző területein sikeresen képesek elhelyezkedni.

 A bemutatott vizsgálati irányok mindegyike korszerű, jelenleg – nemzetközi vonatkozásban is – igen aktív kutatásokhoz kapcsolódik. A felvetett problémák megoldásit – tapasztalt témevezetők irányításával – a BME Matematika Doktori Iskola doktorandusz hallgatói dolgozzák ki. E munka során átélhetik a szellemi alkotás örömét, megismerhetik a matematikai kutatás módszertanát, a tudományos közlemények és konferencia-előadások összeállításának technikáját, sőt, egyes esetekben arra is remény van, hogy a hallgatók részt vehessenek eredményeik versenyszférában történő hasznosításának kidolgozásában is. 

 A BME Matematika Doktori Iskola keretei között létrejött tudományos műhelyek rendkívül inspiráló közeget biztosítanak hallgatóinknak. A Doktori Iskola hallgatói képzésük teljes ideje alatt kapcsolatban vannak témavezetőikkel, sőt e kapcsolat gyakran évekkel korábban, az alapképzés, vagy mesterképzés végén elkészített szakdolgozattal, TDK dolgozattal kezdődik. Intézményesült, hogy a tehetséges MSC hallgatók tanulmányait folyamatosan nyomon követi, segíti egy vezető oktató (tipikusan a volt szakdolgozati témavezető). Hallgatóink fejlődését folyamatosan figyelve mód van rá, hogy (doktori képzésük teljes ideje alatt) tehetségük kibontakoztatásához személyre szabott segítséget kapjanak.

 A BME Matematika Doktori Iskola hallgatói részt vesznek a BME alapképzésében a mérnökhallgatók oktatásában. Tanulmányaik befejezésekor tehát több éves oktatói gyakorlatuk van, mely kiválóan hasznosítható felsőoktatási intézmények matematika jellegű kurzusainak szervezésében, illetve megvalósításában. 

 A BME Matematika Doktori Iskolán fokozatot szerzett kutatók eddigi eredményei alapján várható, hogy doktoranduszhallgatóink képességeikben megerősödve olyan versenyképes tudásra tesznek szert, melynek segítségével sikeresen helyt tudnak majd állni akár alapkutatóként, akár alkalmazott kutatóként. Bízunk benne, hogy a támogatás tovább növeli munkánk eredményességét.

PROJEKT ELŐREHALADÁSI JELENTÉSEK

Időtartam: 2011. december 31-  2012. június 30

 A kutatásban részt vesznek:

 Oktatók: Dr. Andai Attila, Dr. Bálint Péter, Dr. Petz Dénes, Dr. Simon Károly, Dr. Szász Domokos, Dr. Varjú Tamás, Farkas Lóránt
Doktorjelöltek: Bárány Balázs, Ruppert László
Doktoranduszok: Kói Tamás, Komjáthy Júlia, Nándori Péter, Némedy-Varga András, Szántó András

 Fraktálok vetületei és metszetei: Bárány Balázs doktorjelölt Andrew Ferguson-nal és Simon Károllyal közös dolgozata a Sierpinski háromszög racionális irányokban vett vetületeinek munltifraktál analízisét adja. A cikk a Nonlinearity folyóiratban jelent meg.

 Markov láncok: Komjáthy Júlia doktorandusz J. Miller-rel és Y. Peres-szel közös cikkének tartalma:  Markov láncok keverési ideje a nagy adatbázisok előretörése, a 90-es évek óta aktív kutatási terület - nem egy fix Markov lánc konvergencia sebességére vagyunk kíváncsiak, hanem arra, hogy a stacionárius eloszlástól vett távolság mikor esik egy adott treshold alá az adat méretének függvényében. A J. Millerrel és Y. Peressel közös cikkünkben bizonyos feltételeket kielégítő gráfsorozatok Z_2-vel vett wreath-szorzatának egyenletes metrikában vett keverési idejét (amely az L_2 metrikával ekvivalens) határozzuk meg. Megmutatjuk továbbá, hogy Z_n^d, a d dimenziós tórusz minden n és d(n)-re kielégíti a feltételrendszerünket.  

 Determinisztikus modellek által motivált sztochasztikus rendszerek: Nándori Péter doktorandusz Szász Domokossal közös cikkének tartalma: Egy végtelen csőbeli véges horizontú periodikus Lorentz folyamatban a biliárd részecske difúzzív  (azaz n idő alatt körülbelül n^(1/2) távolságra jut el), továbbá a diffúzívan visszaskálázott trajektória konvergál a Brown mozgáshoz. Ha a cső csak egy irányban végtelen, akkor az analóg módon visszaskálázott trajektória tükrözött Brown mozgáshoz konvergál. Ebben a cikkben ennek a két állításnak tekintjük egy közös általánosítását úgy, hogy a kétirányban végtelen cső egy fix pontjára egy, a cső irányára merőleges falat rakunk, amelyen egy pici lyukat vágunk. Ha a lyuk méretét idővel megfelelő módon csökkentjük (n idő múlva a lyuk mérete körübelül n^(1/2)), akkor bizonyos további feltételek teljesülése esetén a skálázott trajektória limesze egy úgynevezett kvázi tükrözött Brown mozgás. Ez sztochasztikus folyamatok egy egyparaméteres családja, ahol a paraméter durván szólva azt méri, hogy a Brown mozgás "mennyire tükrözött". Ha ez az érték nulla, a klasszikus
Brown mozgást, ha végtelen, a tükrözött Brown mozgást kapjuk vissza, így mindkét folyamat közös általánosítását kapjuk. A kutatás során bizonyítottuk az analóg állítást bolyongásra, azaz egy klasszikus "determinisztikus modell által motivált sztochasztikus rendszer"-ben, mely szintén a publikáció része. Végül a periodikus Lorentz folyamat lokális idejére vonatkozó, önmagában is érdekes állításokat is beláttunk.  A cikk a Chaos folyóiratban jelent meg.

 Statisztikus viselkedés kaotikus dinamikai rendszerekben: Némedy Varga András doktorandusz Bálint Péterrel és Borbély Gáborral közös cikkében a kétrészecskés hulló golyó rendszert vizsgálja. Bebizonyítottuk, hogy a diszkrét idejű dinamikai rendszerben a korrelációk polinomiális ütemben csengenek le, és teljesül a centrális határeloszlás-tétel tömegparaméterek egy nyílt halmazára. A cikk a Chaos folyóiratban jelent meg. 

  Információelmélet: Kói Tamás doktorandusz Farkas Lóránttal közös cikkének tartalma: a  többszörös hozzáférésű csatorna azt a szituációt modellezi, amikor több felhasználó küld üzenetet egy vevőnek egyidejűleg. A többszörös hozzáférésű csatornákat leggyakrabban azon feltevés mellett szokás vizsgálni, hogy a felhasználók nem tudnak egymással kommunikálni, de a kódszavaik között képesek szinkronizációt fenntartani. Az aszinkronos változat az utóbbi feltevést elhagyja: a felhasználók kódszavai el lehetnek csúszva egymáshoz képest, az elcsúszások előre nem ismertek. Mi egy speciális, általunk bevezetett és elnevezett aszinkronos modellt, a részben szinkronizált többszörös hozzáférésű csatornák esetét vizsgáltuk. Ebben a modellben a felhasználók csoportokba rendeződnek, az egy csoportba tartozó felhasználók kódszavai szinkronizáltak, míg a csoportok között tetszőleges lehet az elcsúszás. Ebben az esetben adtuk meg az elérhető kommunikációs sebességek, vagyis a kapacitás tartomány olyan leírását információs mennyiségek segítségével, amely számítógéppel könnyen számolható (angol szakirodalomban „single letter characterization”). Az elért eredményekből cikket írtunk (L. Farkas, T. Kói: Capacity Regions of Partly Asynchronous Multiple Access Channels), amit az információelmélet egyik legfontosabb konferenciájára, az ISIT szimpóziumra benyújtottunk. A cikk a lektori vélemények alapján elfogadásra került, így meg fog jelenni online, illetve az ISIT szimpóziumon elő fogom adni 2012. július elején.

 Kvantuminformáció-elmélet: A kvantuminformációelmélet keretében a komplementaritás nevű jelenség volt a vizsgálat tárgya. Itt lényegében arról van szó, hogy egy (például) két részrendszerből álló, véges dimenziós Hilbert-téren modellezhető összetett rendszer állapota nem írhato le teljesen mindössze a két részrendszer teljes ismeretében, hanem egyéb extra információra is szükség van. A részrendszereket leíró algebrákat komplementárisnak nevezzük, ha az általuk meghatározott információk nem átfedők, tehát az egyik részrendszer méréséből semennyire sem következtethetünk a másik állapotara. Az egyik érdekes kérdés az, hogy hogyan lehet felbontani az eredeti rendszernek megfelelő algebrát ilyen komplementáris részalgebrák összegeként. Ezt a két feles spinnek megfelelő rendszer esetében teljesen elvégeztük, és vannak eredmények más esetekben is. Ehhez tartozó kérdés még az, hogy hogyan tudunk optimálisan mérni egy rendszert, ha valamennyi információval már rendelkezünk róla. Kiderül, hogy ennek a kérdésnek is a komplementaritás jelensége a nyitja. Bizonyos érdekes esetekben konstruáltunk is ilyen optimális méréseket.

A Petz Dénes, Szántó András és Ruppert László közös kutatásai során egy speciális kvantum állapotbecslés problémával foglalkozott. A legáltalánosabb kvantum mérésnek egy úgynevezett POVM (positive operator valued measure) felel meg: ez pozitiv definit operátorok egy olyan családja, melyek összege az identitás. A szakirodalomból ismert, hogy ezek közül sok szempontoból a SIC (symmetrical, informationally complete) POVM mérések az optimálisak. Ezek olyan POVM mérések, ahol az operátorok kifeszítik a teljes teret, valamint bármely kettő skalárszorzatának abszolútértéke egy a dimenziótól függő konstans. Az általuk vizsgált probléma a következő: feltesszük, hogy a becsülendő állapot bizonyos paraméterei ismertek. Mi ekkor az optimális mérést leíró POVM? Egy korábbi kutatásuk során foglalkoztunk kvantum komplementaritással. Sejtésünk az volt, hogy az optimális méréshez olyan szimmetrikus POVM tartozik, melynek operátorai komplementárisak az ismert paramétereknek megfelelő operátorokkal, és kifeszítik az ismeretlen paramétereknek megfelelő teret. Ezt az állítást igazoltuk egy az általános SIC POVM mérések optimalitásáról szóló tétel bizonyításával analóg érveléssel. Az ilyen méréseket conditional SIC POVM mérésnek nevezzük. Természetesen adódó kérdés, hogy mikor konstruálható ilyen mérés analitikusan? A kérdés az általános SIC POVM esetében nyitott. Korábban számítógépes kísérletekkel készítettünk numerikusan olyan conditional SIC POVM méréseket, ahol az ismert paramétereknek megfelelő operátorok egy faktorral izomorf részalgebrát alkotnak, majd az itt megfigyelt szabályosságok alapján analitikus konstrukciót adtunk végtelen sok különböző dimenzióra.

Időtartam: 2012. június 30 - 2013. január 15.

  A kutatásban részt vesznek:

 Oktatók: Dr. Andai Attila, Dr. Bálint Péter, Dr. Petz Dénes, Dr. Simon Károly, Dr. Szász Domokos, Dr. Varjú Tamás, Farkas Lóránt
Korábbi doktoranduszok: Bárány Balázs, Ruppert László
Doktorjelöltek: Komjáthy Júlia, Nándori Péter, Szántó András, Kói Tamás
Doktoranduszok: Némedy-Varga András, Vágó Lajos, Kolossváry István

 Markov láncok. Komjáthy Júlia folytatta lámpagyújtogató csoportok keverési idejére vonatkozó kutatásait. Jason Miller-rel és Yuval Peres-szel közös, korábbi PEJ-ben említett cikkét elfogadták ([8]), és beküldött egy további cikket Yuval Peres-szel közösen ([9]). Kolossváry István Komjáthy Júliával közösen exponenciális élsúlyokkal ellátott inhomogén véletlen gráfokban legrövidebb utakon lévő súlyok összegének és a rajtuk lévő élek számának határozta meg az aszimptotikus viselkedését. A súlyok összegére vonatkozó eloszlásbeli konvergencia illetve az élek számára bizonyított centrális határeloszlás tétel R. van der Hofstad  és társszerzőinek Erdős-Rényi gráfokon elért eredményeit általánosítja. Publikálás előkészületben, kézirat elérhető ([11]). Kolossváry István vizsgálta különböző véletlen gráf modellekben legrövidebb utakat kereső algoritmusok gyorsítási lehetőségeit. Pár modellben az adott kezdő és végpont közti legrövidebb út esetében nagyságrendbeli különbséget sikerült bizonyítani.

 Fraktálok. Bárány Balázs Andrew Fergusonnal (Bristol, UK) és Simon Károllyal közös, Sierpinski háromszög racionális meredekségű egyenesekkel vett metszeteire vonatkozó, korábbi PEJ-ben már említett cikke megjelent ([14]). Bárány Balázs Mark Pollicottal (Warwick, UK) és Simon Károllyal közösen az úgynevezett Blackwell mérték tulajdonságait vizsgálta, mely nagy jelentőségű az információelmélet alapvető modelljeinek megértésében. Az általuk tanulmányozott esetben a Blackwell-mérték egy iterált függvényrendszer speciális invariáns mértéke. Módszert mutattak a Blackwell-mérték entrópiájának, illetve a Lyapunov-exponensének tetszőleges pontosságú közelítésére a paraméterek függvényében, valamint meghatározták a paraméterek egy olyan tartományát, ahol a mérték szinguláris a Lebesgue mértékre nézve. Kapcsolódó publikáció: [7]. Simon Károly Vágó Lajos doktorandusszal közös kutatása során a Mandelbrot perkoláció nevű fraktált vizsgálta. Céluk Simon Károly és Michal Rams a Mandelbrot perkoláció projekcióira vonatkozó, közelmúltban benyújtott eredményeinek általánosítása. A félévben egyfelől általánosították a kapott eredményeket a magasabb dimenziós esetre, egy másik lehetséges általánosítása a problémáknak, ha a projekciók helyett a perkoláció valamilyen általánosabb függvényosztály általi képét vizsgáljuk. Ez a munka még folyamatban van, bizonyos lépéseket még ki kell dolgozni, ami alapján szeretnék egy, a projekcióknál sokkal tágabb függvényosztályra általánosítani az eddigi eredményeket. Benyújtott cikk: [10]. Komjáthy Júlia Molontay Roland BSc hallgatóval közösen, skálafüggetlen gráfok boxdimenziójának lehetséges definícióit, illetve ezek viselkedését kutatta. Érdekes megfigyelés, hogy a fedési dimenzió egész máshogy viselkedik korlátos fokú, illetve skálafüggetlen gráfok esetében. Elképzelésük szerint az előbbi esetben a dimenziót a dim =  log (boxok száma /gráf csúcsszáma) / - log (boxméret) képlet segítségével, míg utóbbi esetben a dim =  log (boxok száma / gráf csúcsszáma) / - (boxméret) lehet értelmes módon definiálni. Speciális gráfmodellekre ezt a dimenziót határozták meg. Az eredmények publikálását későbbre tervezik.

 Determinisztikus modellek által motivált sztochasztikus rendszerek: Nándori Péter Szász Domokossal közös, korábbi PEJ-ben említett cikke megjelent ([12]). Az adott időszakban a korábbi kutatás folytatásaként azt vizsgálták, hogyan jelenik meg a kvázi tükrözött Brown mozgás a végtelen horizontú, csőszerű tartományban tekintett, az origóban perturbált, egyebként periodikus Lorentz folyamat skálalimeszeként. A végtelen horizont általában lényeges nehézséget jelent, a határeloszlás tételt például csak 26 évvel a véges horizontú eset tárgyalása után tudták precízen igazolni. A mostani kutatásban hasonló állítást akarnak igazolni, mint véges horizontnál, a sqrt(n) skálázás helyett sqrt(n/log(n)) skálázással.

 Statisztikus viselkedés kaotikus dinamikai rendszerekben Némedy Varga András Bálint Péterrel és Borbély Gáborral közös, korábbi PEJ-ben említett cikke megjelent ([13]). Némedy Varga András és Bálint Péter jelenleg a Chernov-Dolgopyat szerzőpáros által kétdimenziós hiperbolikus rendszerek egy családjára kidolgozott csatolásos módszer magas dimenziós általánosításán dolgoznak. Azonosították az eredeti érvelés azon pontjait, melyek erősen használják a rendszer kétdimenziós voltát. Ezután megfogalmazták a szükséges állítások magas dimenziós analogonjait és részben egyéni ötletek alapján, részben pedig az irodalomban már meglévő eredmények
felhasználásával bizonyították őket. Az így kapott eredmények  publikálása 2013-ra várható.

 Információelmélet. Kói Tamás és Farkas Lóránt korábbi PEJ-ben említett konferencia-cikke megjelent ([6]). A szerzők jelenleg Jie Luo és Anthony Ephremides A new Channel Coding Approach for Random Access with Bursty Traffic című, 2010-ben arXiv-ra felkerült cikkének általánosításával foglalkoznak arra az esetre, amikor a vevő nem ismeri a csatornát. A korábbi eredmények javítása mellett, független forrás többszörös hozzáférésű csatorna kódolás esetén elérhető hibaexponenst adtak ezen technikával. Az eredmények leírása folyamatban van, publikálás 2013 elejére várható.

 Kvantuminformáció elmélet. A félév során további numerikus kísérleteket végeztünk, annak reményében, hogy Conditional SIC-POVM-ek további családjára bukkanunk. A kísérletek eredményeképp valószínűsíthető, hogy nem minden esetben található ilyen konstrukció, még azon - heurisztikusan fontosnak ítélt - esetekben sem, amikor az ismert paramétereknek megfelelő altér éppen egy teljes mátrixalgebra. Hasonló állapotbecslési problémára jutunk, ha nem ismert paramétereket feltételezünk, hanem például az állapot redukáltjainak valamilyen lineáris összefüggését. Ebben az esetben a lineáris összefüggés helyettesíti azt az alteret, amit addig az ismert paraméterek határoznak meg, és a megfelelő Conditional SIC-POVM jelenti az optimális mérést. A kutatás további részében ilyen és hasonló esetekben igyekszünk analitikus leírását adni ezen méréseknek. Időközben ebben a témában több publikációnk is megjelent [5] és [4], illetve továbbra is várunk publikáció elfogadására [2].

 Kvantumcsatornák optimális paraméterbecslésével is foglalkoztunk, melynek fő eredménye az n-dimenziós eset jellemzése. A csatornairányok ekkor megfeleltethetőek mátrixalgebrák direkt felbontásának. A főbb nehézséget az okozta, hogy az eredmény függ az így kapott részalgebrák algebrai struktúrájától. Emellett foglalkoztunk azzal az esettel is, amikor nem csak a Pauli csatorna kontrakciós paramétere, hanem az iránya sem ismert [3].

 A kvantum-kontroll elmélete már a 70-es évekre visszavezethető (Belavkin). Alapvető célja egy tetszőleges kvantumállapotból kiindulva egy adott állapot elérése. Jelenleg többféle megközelítés van az irodalomban. A mi vizsgálatunk tárgya a mérnöki tudományokban jól ismert Kálmán szűrő alkalmazhatóságának vizsgálata kvantum rendszerekre. Ezt sikerült is elvégezni egy egyszerű modellre, megállapítva a fizikai korlátokat, amik egy ilyen problémánál felmerülnek [1].

Kapcsolódó  publikációk:

•  [1] László Ruppert, Katalin Hangos, József Bokor, Possibilities of Quantum Kalman Filtering, submitted for publication (European Control Conference 2013)

• [3] László Ruppert, Dániel Virosztek, Katalin Hangos, Optimal parameter estimation of Pauli channels, J. Phys. A: Math. Theor. 45, 265305, 2012
• [4] Dénes Petz, László Ruppert, Optimal quantum-state tomography with known parameters, J. Phys. A: Math. Theor. 45, 085306, 2012
• [5] Dénes Petz, László Ruppert, Efficient quantum tomography needs complementarity and symmetric measurements, Reports on Math. Phys., 69, p. 161-177, 2012
• [6] Farkas Lóránt, Kói Tamás, Capacity Regions of Partly Asynchronous Multiple
  Access Channels, IEEE International Symposium on Information Theory, Boston,
  USA, 2012.07.01-2012.07.06. pp. 3018-3022.
• [7] Bárány Balázs, Andrew Ferguson, Károly Simon: Slicing the Sierpinski gasket, Nonlinearity 25 No. 6 (2012), 1753-1770.
• [8] Komjáthy J, Miller J, Peres Y : Uniform mixing time for Random Walk on Lamplighter Graphs. AIHP-ben (megjelenés alatt),
• [9] Komjáthy Júlia, Yuval Peres: Mixing and relaxation time for Random Walk on Wreath Product Graphs. cikk beküldve az EJP-be,
• [10] Komjáthy Júlia, Simon Károly, Vágó Lajos: A generalization of Barabási priority model of human dynamics. Benyújtva a Stochastics and Dynamics folyóirathoz.
• [11] István Kolossváry and Júlia Komjáthy: First passage percolation on inhomogeneous random graphs.
• [12] Péter Nándori, Domokos Szász: Lorentz Process with shrinking holes in a wall.
  Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science 22, 2, 026115, 2012. http://arxiv.org/abs/1111.6193
• [13] Bálint Péter, Borbély Gábor, Némedy Varga András: Statistical properties of the system of two falling balls. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science 22, 2, 026104, 2012.
• [14] B. Bárány, M. Pollicott, K. Simon: Stationary Measures for Projective Transformations: The Blackwell and Furstenberg Measures, J Stat Phys 148 No. 3 (2012), 393-421.

• [2] Dénes Petz, László Ruppert, András Szántó, Conditional SIC-POVMs, submitted for publication (Communications in Mathematical Physics),

  A projektre deklarált publikációk

  Megjelent publikációk:

 ―    Bárány, B. Pollicott, M. and  Simon, K.:  „Stationary Measures for Projective Transformations: The Blackwell and Furstenberg Measures”, J Stat Phys 148 No. 3 (2012), 393-421.

 ―     Péter Nándori, Domokos Szász: Lorentz Process with shrinking holes in a wall.
Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science 22, 2, 026115, 2012. http://arxiv.org/abs/1111.6193

 ―     Bálint Péter, Borbély Gábor, Némedy Varga András: Statistical properties of the system of two falling balls. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science 22, 2, 026104, 2012.

 Beküldött és elfogadott publikációk:

 ―    Komjáthy J, Miller J, Peres Y : „Uniform mixing time for Random Walk on Lamplighter Graphs” Annales de l’Institut Henri Poincaré – Probabilités et Statistiques (elfogadás alatt)

 ―    Petz, D. Ruppert L. and Szántó A.: „Conditional SIC-POVMs”, Communications in Mathematical Physics (elfogadás alatt)

 ―    Ruppert, L. Hangos K. and Bokor J.: „Possibilities of Quantum Kalman Filtering” in  European Control Conference 2013 (elfogadás alatt)

 A támogatás hasznosulása

  Fokozatot szereztek: Bárány Balázs, Komjáthy Júlia, Ruppert László

 Eljárást megindították: Nándori Péter, Szántó András

Időtartam: 2013. január 15 - 2013. június 15.

  A kutatásban részt vesznek:

  Oktatók: Dr. Andai Attila, Dr. Bálint Péter, Dr. Petz Dénes, Dr. Simon Károly, Dr. Szász Domokos, Dr. Varjú Tamás, Farkas Lóránt
Korábbi doktoranduszok: Bárány Balázs, Ruppert László, Komjáthy Júlia
Doktorjelöltek: Nándori Péter, Szántó András, Kói Tamás
Doktoranduszok: Némedy-Varga András, Vágó Lajos, Kolossváry István

Markov láncok:

Legrövidebb utak véletlen apolloniai hálózatokban: két véletlenszerûen választott csúcs közti legrövidebb út, egy rögzített csúcstól a legtávolabbi csúcshoz vezetõ legrövidebb út és a gráf átmérõjének aszimptotikus viselkedésének pontos meghatározása tetszõleges dimenzióban. Továbbá centrális határeloszlás tétel bizonyítása a legrövidebb utakra. Az eredmények egyesítik és általánosítják a korábbi részeredményeket.

Determinisztikus modellek által motivált sztochasztikus rendszerek:

Egy hosszú csőben elnyelő falakkal tekintett véges horizontú Lorentz folyamat esetén  kialakuló aszimptotikus részecskesűrűséget vizsgáljuk Dmitry Dolgopyattal közösen. Beláttuk egy részecske konvergenciáját a Brownian meander folyamathoz amellett a feltétel mellett, hogy nem tér vissza a kiindulási helyre, amivel a részecskesűrűség feltehetőleg nemsokára bizonyítható lesz.

Statisztikus viselkedés kaotikus dinamikai rendszerekben:

Két, konstans negatív görbületű felületen mozgó, ritkán kölcsönható biliárdgolyó ener-giacseréjének megértése, ami Nándori Péter közös munkája Bálint Péterrel, Tasnádi Tamással, Tóth Imre Péterrel és Szász Domokossal. Célunk a Gaspard Gilbert által vázolt érvelés precízzé tétele erre a modellre (ehhez pontosan le kell írni az ütközés hatására instabilból stabilba forduló perturbációk szerkezetét).

Emellett a standard párok csatolásának kétdimenziós szóró biliárdokra kidolgozott módszerét általánosítottuk magas dimenziós szinguláris Anosov rendszerekre. Ez a módszer statisztikus tulajdonságok bizonyítása mellett perturbatív eredmények igazolására is alkalmas. A kutatás során a technika megismerése és megértése mellett a magas dimenziós környezetbõl adódó problémák kezelése jelentette a fõ feladatot. Ilyen nehézség volt például a holonómia dinamikus Hölder- folytonosságának igazolása, illetve bizonyos, Cantor típusú halmazokon értelmezett reguláris függvények kiterjesztése egy összefüggõ halmazra a regularitás megõrzése mellett. Jelenleg az eredmények publikálásra való elõkészítése zajlik. 

Fraktálok:

Simon Károly Vágó Lajos doktorandusszal közös kutatása során a Mandelbrot perkoláció nevû fraktált vizsgálta Simon Károly és Michal Rams közelmúltban benyújtott munkája alapján. Céljuk a korábbi munka folytatása, így a projekciókra kapott eredmények általánosítása bõvebb függvényosztályokra. Ez a cél megvalósult: a korábbi eredmények polinomokra is igazak. Ezen felül célunk annak meghatározása, hogy Rams és Simon a Mandelbrot perkoláció projekcióira vonatkozó szereplõ kulcsfontosságú Condition A a modell mely paraméterei esetén teljesül. Ez a munka folyamatban van, fontos lépéseket tettünk felé.

Kvantuminformáció elmélet:

A kölcsönösen torzítatlan bázisok jól ismert problémájának általánosítása a mátrix-algebrák komplementáris felbontásának vizsgálata. Mátrixalgebrák komplementáris felbontásában szereplõ részalgebrákat unitér transzformációk kapcsolják össze. Ezen transzformációk sok tulajdonsága ismert, de az egymáshoz való viszonyukról viszonylag keveset tudunk. Természetes megvizsgálni azt a szituációt, amikor a transzformációk csoportot alkotnak, hiszen ekkor a komplementaritás bizonyos szükséges feltételei automatikusan teljesülnek. Beláttuk, hogy a 4x4-es esetben minden lehetséges komplementáris felbontás megvalósítható csoportot alkotó unitér transzformációkkal, valamint hasonló, szintén csoportot alkotó, rekurzív konstrukciókat adtunk a nagyobb kettõhatvány dimenziójú mátrixalgebrák felbontására is.

A fenti téma mellett a félév folyamán a nemkommutatív valószínûségszámításban fellépõ határozatlansági reláció általánosításait vizsgáltuk. A Robertson- féle határozatlansági reláció kiterjesztését az állapottéren értelmezett monoton metrikákra már Gibilisco megtette, mi az egyenlõtlenség másik oldalát (a kovariancia mátrix determinánsának az alsó becslését) terjesztettük ki speciális operátormonoton 
függvények által generált Riemann-metrikára. Így sikerült a határozatlansági relációt teljes egészében visszavezetni egyszerûbb geometriai összefüggésekre. 

A projektre deklarált publikációk

Beküldött publikációk:

L. Farkas, T. Kói: Random Access and Source-Channel Coding Error Exponents for Multiple Access Channels, elküldve az ISIT2013 konferenciára, előzetes verzió elérhető a következő címről http://arxiv.org/abs/1301.6412

Petz, D. Ruppert L. and Szántó A.: Conditional SIC-POVMs, IEEE Transactions on Information Theory (elfogadás alatt)

Konferencia előadások:

Kolossváry István: Distances in random Apollonian networks, PhD Conference, Doctoral School of Mathematics and Computer Science, Budapest University of Technology and Economics, May 8-10, 2013. pp. 37-40.

Nándori Péter: Statistical Properties of Lorentz Processes in a Tube. Random Walks: Crossroads and Perspectives, Budapest, 2013. június 27.

http://www.renyi.hu/conferences/walk2013/ 

Petz Dénes: Entropy in Quantum Mechanics: Recent Advances, June 25-26, 2013. University of Cergy-Pontoise, France

Szántó András: Complementary decompositions of Matrix Algebras PhD Conference, Doctoral School of Mathematics and Computer Science Budapest University of Technology and Economics, May 8-10, 2013. pp. 28-30.

Vágó Lajos: Projections of Mandelbrot percolation in higher dimensions and Evolutionary Apollonian Networks, PhD Conference, Doctoral School of Mathematics and Computer Science Budapest University of Technology and Economics, May 8-10, 2013. pp. 24-27.

 A támogatás hasznosulása

Fokozatot szerzett: Nándori Péter